【难题】如何快速记忆Maxwell方程

Maxwell方程虽然难于记忆，但是有一定的规律可循，下面通过口诀、框图记忆法进行：

1.符号的意义：G,U,H,S,T,P,B的意义不变，用F代表赫姆霍兹自由能A

2.记忆口诀：Good Physicists Have Studied Under Very Fine Teachers。

3.框图，口诀中每个单词的第一个字母代表相应的物理量，按顺时针从左下角填在坐标系图形中

4.使用方法：

A.微分方程的得出：

某个函数的全微分，等于其左邻函数的微分乘以与左邻函数在一条直线上的函数（箭头相向为正，箭头相反为负），加上右邻函数的微分乘以与右邻函数在一条直线上的函数（箭头相向为正，箭头相反为负）。

比如说，吉布斯能G的全微分，等于左邻函数P的全微分乘以左邻函数在一条直线上的函数V，加上右邻函数T的微分乘以右邻函数在一条直线上的函数S(由于方向相反为负)，所以dG=VdP-SdT。

B.对应关系式的得出：

某个函数x对相邻的一个函数y求偏导，另一个相邻的函数z不变，就等于与y在一条知见上的函数（箭头相向为正，箭头相反为负）。

比方说x为A，则：

C.Maxwell方程的得出：

将S,V,T,P连成正方形，从正方形的两个相邻顶点出发，作两个直角箭头。

两个直角箭头代表的偏导数之绝对值相等，符号取决于分子函数在原框图中的位置箭头相向为正，箭头相反为负

这种框图还可以得出定义式：

将H,U,A,G连成正方形，在同一条边上的两函数相减，横减等于pV，竖减等于TS，

由此可以导出定义式：

H=U+pVA=U-TS

G=H-TS=A+pV

有了这两个记忆方法，对初学者就有了一定的帮助，然后多运用，那么记住16个公式就不难了

麦克斯韦方程组 Maxwell's equation

麦克斯韦方程组是麦克斯韦（James Clerk Maxwell）建立的描述电场与磁场的四个方程。

方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。 在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。

麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场，变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场。麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立了完整的电磁场理论体系。这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。

麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。

历史背景

1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。

场概念的产生，也有麦克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。

1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、安培—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。

积分形式

麦克斯韦方程组的积分形式：

这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。

其中：（1）描述了电场的性质。在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。

（2）描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。

（3）描述了变化的磁场激发电场的规律。

（4）描述了变化的电场激发磁场的规律。

变化场与稳恒场的关系：

当

时，

方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程：

在没有场源的自由空间，即q=0, I=0，方程组就成为如下形式：

麦克斯韦方程组的积分形式反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系。

微分形式

麦克斯韦方程组微分形式：在电磁场的实际应用中，经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。利用矢量分析方法，可得：

注意：(1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程有同样的形式。

(2) 应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在各向同性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系：

在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用t=0时场量的初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。

科学意义

(一)经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来的。但麦克斯韦的主要功绩恰恰是他能够跳出经典力学框架的束缚：在物理上以"场"而不是以"力"作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。这两条是发现电磁波方程的基础。这就是说，实际上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架，只是由于当时的历史条件，人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去理解电磁场理论。

现代数学，H空间中的数学分析是在19世纪与20世纪之交的时候才出现的。而量子力学的物质波的概念则在更晚的时候才被发现，特别是对于现代数学与量子物理学之间的不可分割的数理逻辑联系至今也还没有完全被人们所理解和接受。从麦克斯韦建立电磁场理论到现在，人们一直以欧氏空间中的经典数学作为求解麦克斯韦方程组的基本方法。

(二) 我们从麦克斯韦方程组的产生,形式,内容和它的历史过程中可以看到：第一，物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所撑握，所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的，一种新的具有认识意义的公理体系的建立才是科学理论进步的标志。第二，物理对象与对它的表达方式虽然是不同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对 象的"存在"。由此，第三，我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物理事实,，这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。

(三) 麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美，这种优美以现代数学形式得到充分的表达。但是，我们一方面应当承认，恰当的数学形式才能充分展示经验方法中看不到的整体性(电磁对称性)，但另一方面，我们也不应当忘记，这种对称性的优美是以数学形式反映出来的电磁场的统一本质。因此我们应当认识到应在数学的表达方式中"发现"或"看出" 了这种对称性，而不是从物理数学公式中直接推演出这种本质。

在现实世界中，许多现象无法用完全意义上的d性进行表示，如载荷作用的梁，当载荷移去时，梁由载荷作用产生的挠曲并不立即消失，但也不产生永久变形，经过一定时间后挠曲会完全消失，所以这种挠曲仍是d性的，这种d性称为“d性滞后”或“d性后效”。另一种情况是加载后梁产生的挠曲一直在增加，卸去载荷后，变形不全部恢复或由于自重变形仍旧进行，这是一种缓慢的流动和蠕变。对这类现象，经典的d性、塑性概念已不能适用，它的行为与粘滞性很大的牛顿流体相似，但仍具有d性性质。这种材料我们称之为麦克斯韦体（Maxwell）。

麦克斯韦体（Maxwell）流动方程是胡克固体和牛顿流体的流变方程的组合，对于胡克固体，当外力（p0）为常数时，其变形（e0）为一定值（图 7-1a）；而对牛顿流体，当外力（p0）为常数（图7-1b）时，其变形速率（ε0）为常数。

对于胡克固体有：

云南兰坪-维西地区成矿与岩石圈构造动力学

图7-1 理论挠曲曲线

而对于牛顿流体则为：

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这里材料中出现的d性只存在较短的时间，在一定的时间内，材料会像流体一样流动。

对胡克方程求导得：

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将式（7-3）、式（7-2）结合得：

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这一流变方程反映的材料本质为一流体，但具有d性，用μl（“流体的刚度”）中的下标“l”来表示。这一方程由麦克斯韦（Maxwell）1868年首次提出，这种材料因而叫麦克斯韦液体。

对产生剪切率ε的简单剪切或切向应力pτ，方程为：

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对于产生拉伸率ε的简单拉伸（正应力）pn方程为：

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解微分方程可得：

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式中：e=2.718，是自然对数的底。

当ε取不同值时，可得出一系列应力-时间曲线，如图7-2 所示。当材料在 t=0 时受力至 p0，并一直保持不变，则有一个确定的速率ε0 使得应力保持不变，即当 p0 为常数时，材料就像液体一样以不变的速率流动。另一方面若变形保持不变，即ε=0时有：

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式中，［p0］为t=0时的初始应力大小。

这说明当 t=0时，由于应力[p0]的作用而产生了一定的变形，如果变形要保持不变，则应力必须呈如图7-3的方式衰减。

图7-2 应变速率ε不变时麦克斯韦体的应力-时间曲线

图7-3 麦克斯韦体的松弛曲线

这就是麦克斯韦体的应力松弛现象。取：

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式中：τ称为松弛时间。

在材料表中（表7-1）可见牛顿流体是μl=∞或τ=0 时的特殊情况，即为松弛速率无限大，牛顿流体的松弛是瞬间发生的。

表7-1 材料特性分类表

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