arccosx泰勒展开式

arccosx泰勒展开式

arccosx泰勒展开式：arccosx=π/2+∫(0→x)f(x)dx=π/2-(x+1/2!*x^3/3+3!/4!*x^5/5+...+(2n-1)!/(2n)!*x^(2n+1)/(2n+1)+...)。

令f(x)=(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

f(0)=-1

则f'(x)=-x/(1-x^2)^(3/2)=x/(1-x^2)*f(x)

f'(0)=0

即(1-x^2)f'(x)=xf(x)

两边求n阶导：(1-x^2)f^(n+1)(x)-2nxf^(n)(x)-n(n-1)f^(n-1)(x)=xf^(n)(x)+nf^(n-1)(x)

令x=0：f^(n+1)(0)-n(n-1)f^(n-1)(0)=nf^(n-1)(0)

f^(n+1)(0)=n^2f^(n-1)(0)