二项式定理与高阶求导

对于函数f(x)，其导数记为f'(x)，对导数再一次求导，记为f''(x)，被称为二阶求导。（高中老师都说，这是二次求导，好吧，二次就二次吧，无所谓）

那么我们自然就会想，再求导下去会发生什么现象？

笨，那不就是三阶、四阶……导数嘛。

对哦，我们总不能写f'''''''''''''(x)吧，数点点也会数晕的哦，简记成

先看一个最简单的例子，

再举个稍微复杂例子。

我们发现，三角函数y=sinx的高阶导数是个周期变化。既然是周期变化，我们就可以做这样的变形。

加油，来个更复杂的例子。

最后来一个超级复杂的例子，看好了。

这个例子更深刻的意味是，对于两个函数相乘，它的高阶导数怎么求？

我发现，它们的系数居然有这样的规律

二阶导数：1 2 1

三阶导数：1 3 3 1

那么四阶导数的系数就猜测为：1 4 6 4 1

验证下：

居然是正确的，那么我们得到了一个特别爽的定理!

根据这个公式代入本例即可得

娘啊，这公式长得太像二项展开式了，回忆中是这样。

根据高考出卷人所声称的：我们的考题“来源于教材，但不拘泥于教材”。

突然有种细思极恐，不寒而栗的冷汗从后背渗出。