神奇的数字

神奇的数字 你知道哪些神奇的数字？

题主提到了一个神奇的数 142857。

这个数的神奇之处在于，它的 2 倍到 6 倍是这 6 个数字的一个排列，并且如果把 142857 写两遍：142857142857， 则它的 2 倍到 6 倍 恰好是这 12 个数字中的连续 6 位：142857*2=285714142857*3=428571142857*4=571428142857*5=714285142857*6=857142看起来特别神奇是吧？拥有这种性质的数我们称之为 “走马灯数”，其性质就像下图那样：“走马灯数”看起来是如此神奇，直觉告诉我们，这样的数非常罕见，然而，真的是这样吗？我们注意到，142857*7=999999，而这，正是走马灯数的奥妙所在。

如果你学过极限，应该会认同 1=0.99999999……而 142857*7=999999，意味着 142857 正是 1/7 的循环节。

相信对于学过数学的人来说，竖式计算一定不陌生，就像下图所示：参见图中的彩色数字，我们发现，在作除法的过程中，余数为 1~6 的情况恰好都出现了。

这就不难解释为什么 142857 的 2~6 倍都是循环节的一部分：因为任何不能被 7 整除的数，余数必然是 1~6 中的一个，因此必然会落入相同的循环劫中啊！看到这里，我们恍然大悟：如果 1/n 在做竖式除法的过程中，余数恰好遍历了 1,2，……，n-1，那么其循环节必然也是“走马灯数”。

在数学上可以严格证明，这个性质等价于：当 p 为素数，且 10 为模 p 的一个原根时， 1/p 的循环节是 “走马灯数” （反过来其实也成立）。

著名的数列网站 OIES 给出了这样的一个数列（A001913）：数列的第一项就是大名鼎鼎的 7。

第二项是 17，1/17= 0.0588235294117647 （循环）这就意味着： 588235294117647 也是一个“走马灯数”：588235294117647 *2= 1176470588235294588235294117647 *3= 1764705882352941588235294117647 *4= 2352941176470588588235294117647 *5= 2941176470588235…… 类似地，1/19， 1/23， 1/29…… 的循环节，也能产出对应的 “走马灯数”。

原本我们以为，像 142857 这样的走马灯数，是凤毛麟角，不可多得的，没想到，它其实也很常见啦！

答：“666”，就是一个非常“牛”的数字。

比如下面几个性质：1、666=2^2+3^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2（前七个质数平方和）;2、666=22+32+52+72+112+132+172+66+6(上一公式的引伸);3、666=1+2+3+……+36（前36个自然数之和）;4、666=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+5^3+4^3+3^3+2^3+1^3；5、666=1^6-2^6+3^6 ;6、666=6+6+6+6^3+6^3+6^3;7、666=(6+6+6)^2+(6+6+6)^2+6+6+6;8、666=1+2+3+4+567+89；9、666=123+456+78+9;10、666=9+87+6+543+21;11、666=111+222+333（半完全数）;12、666罗马数字为：DCLXVI，从大到小所有罗马数字排列（小于1000）;13、圆周率前144=（6+6）*（6+6）位数字之和等于666;14、圆周率前9位小数314、159、265，314+159+265=666+6*6+6*6；15、圆周率第二、第三组，与212构成一组勾股数（159、212、265），多出来的212，正好与666形成圆周率近似：666/212=3.141509…;16、圣经《启示录》第十三章写道：“凡有聪明者，可以算计兽的数目；因为这是人的数目。

这个数目正是六百六十六。

……牛不牛！好啦！我的答案就到这里，喜欢我们答案的读者朋友，记得点击关注我们——艾伯史密斯！